La Derivada y Linea tangente

La Derivada

Es el resultado de un límite y representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto

Fórmula de la Derivada

Es una función continua con respecto a una variable el incremento de la función es dividido entre el límite del cociente.
La derivada es una tasa de cambio promedio, se aplica para el cálculo de una tasa de crecimiento, una población, de la velocidad o del tiempo en la que se propaga una batería, inflación monetaria, el crecimiento de una razón de cambio de una moneda.

Regla General de la Derivada
F(x)=ax12
F’(x)=anx12-1

Procedimiento: se multiplica la base por el exponente y luego al exponente se le resta x -1.

Ejemplos:
Problema Solución

a) 8x 8

b) 10x2 20x

c) 7x 7

Derivada del Producto

Fórmula: F´(x)=ab´+ba´

1° Ejemplo:
a b
f´(x)= (4x - 7) (5x ^2 + 2)

Se descompone
f´(x)= (4x-7) (10x) + (5x ^2+2)(4)

Se multiplica
f´(x)= 40x ^2 -70x+20x ^2 + 8

Términos semejantes
f´(x)= 60x ^2 -70x + 8
f´(x)= (5x ^2 -7x + 6) (4 - 3x)

2° Ejemplo:
y= 6x ^3 (x ^3- 2x^2 + 4x -6)
y= 6x ^3 (3x ^2 -4x + 4) +(x ^3-2x ^2 +4x+6)18x ^2
y=18x ^3 -24x ^4 +24x ^3 +18x ^3 -3x ^4 + 72x ^3- 108x ^2
y=36x ^5- 27x ^4+96x ^3- 108x ^2

Fórmula del Cociente

La fórmula para derivar una función cociente es f´(x)=ba´-bá/b2
Ejemplos:

g(x) = x –3 a (numerador)
x 2-5 b (denominador)

Procedimiento:

Se pasa igual el denominador que multiplica por el valor de a´y sustituimos el valor de b´ que multiplica al numerador todo entre el denominador elevado al cuadrado.
a´ = 1
b´= 2x

g`(x) = (x2-5) (1) -(2x) (x-3)
(x2—5)2

Se resuelve
g`(x) = x2-5-2x2-6x

Se acomodan del mayor grado al menor
g`(x) = x2-6x-5
(x2-5)2

Regla de la Cadena

Cada una de las funciones tiene su forma particular de derivada que es :
6x(8x2+6x-4) Derivada del producto ( x )
f`(x) ab` + a`b

La regla de la cadena se utiliza para derivar funciones de grado superior que están elevados por un exponente.

f(x)= n(u)n-1 (u)

Ejemplo
La derivada de f(x)= (2x3+3)5
Su solución es:
f(x)= (2x3+3)5 `(x)= (5x+4)3 exponente pasa a ser multiplicación
f`(x)= 3 (5x+4)2 (5) exponente es –1
f`(x)= 15(5x+4)2

Esta regla es útil cuando se tiene una función formada por un polinomio elevando a una potencia ejemplo:
f(x) = (2x3+3)5
Si “u” es el polinomio — La función f(x)= un
Su derivada : f
f(x)= 5(2x3+3)4(6x2)
f(x)= 30x2(2x3+3)4

Línea Tangente

Aplicación de la derivada en la ecuación tangente
Para determinar la ecuación de la línea tangente en base a la función de una gráfica es necesario tener la ecuación de una función y un punto.
Ejemplo:
-4x en el punto (3,-3)
Pasos
1.Derivar la ecuación de la función y´=2x-4
2.Determinar la pendiente de la ecuación (sustituyendo el valor de "x")
y=2(3)-4 m=6-4 m=2
3.Sustituir la ecuación punto pendiente con los valores del punto y la pendiente.
4.Despejar la variable "y", su resultado será la ecuación de "la línea tangente" que intersecta a una función.
y=2x-6-3
y=2x-9
y-y1 = m(x-x1)
y-(-3) = 2(x-3)
y+3 = 2x-6