La Derivada y Linea tangente

La Derivada

Es el resultado de un límite y representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto

Fórmula de la Derivada

Es una función continua con respecto a una variable el incremento de la función es dividido entre el límite del cociente.
La derivada es una tasa de cambio promedio, se aplica para el cálculo de una tasa de crecimiento, una población, de la velocidad o del tiempo en la que se propaga una batería, inflación monetaria, el crecimiento de una razón de cambio de una moneda.

Regla General de la Derivada
F(x)=ax12
F’(x)=anx12-1

Procedimiento: se multiplica la base por el exponente y luego al exponente se le resta x -1.

Ejemplos:
Problema Solución

a) 8x 8

b) 10x2 20x

c) 7x 7

Derivada del Producto

Fórmula: F´(x)=ab´+ba´

1° Ejemplo:
a b
f´(x)= (4x - 7) (5x ^2 + 2)

Se descompone
f´(x)= (4x-7) (10x) + (5x ^2+2)(4)

Se multiplica
f´(x)= 40x ^2 -70x+20x ^2 + 8

Términos semejantes
f´(x)= 60x ^2 -70x + 8
f´(x)= (5x ^2 -7x + 6) (4 - 3x)

2° Ejemplo:
y= 6x ^3 (x ^3- 2x^2 + 4x -6)
y= 6x ^3 (3x ^2 -4x + 4) +(x ^3-2x ^2 +4x+6)18x ^2
y=18x ^3 -24x ^4 +24x ^3 +18x ^3 -3x ^4 + 72x ^3- 108x ^2
y=36x ^5- 27x ^4+96x ^3- 108x ^2

Fórmula del Cociente

La fórmula para derivar una función cociente es f´(x)=ba´-bá/b2
Ejemplos:

g(x) = x –3 a (numerador)
x 2-5 b (denominador)

Procedimiento:

Se pasa igual el denominador que multiplica por el valor de a´y sustituimos el valor de b´ que multiplica al numerador todo entre el denominador elevado al cuadrado.
a´ = 1
b´= 2x

g`(x) = (x2-5) (1) -(2x) (x-3)
(x2—5)2

Se resuelve
g`(x) = x2-5-2x2-6x

Se acomodan del mayor grado al menor
g`(x) = x2-6x-5
(x2-5)2

Regla de la Cadena

Cada una de las funciones tiene su forma particular de derivada que es :
6x(8x2+6x-4) Derivada del producto ( x )
f`(x) ab` + a`b

La regla de la cadena se utiliza para derivar funciones de grado superior que están elevados por un exponente.

f(x)= n(u)n-1 (u)

Ejemplo
La derivada de f(x)= (2x3+3)5
Su solución es:
f(x)= (2x3+3)5 `(x)= (5x+4)3 exponente pasa a ser multiplicación
f`(x)= 3 (5x+4)2 (5) exponente es –1
f`(x)= 15(5x+4)2

Esta regla es útil cuando se tiene una función formada por un polinomio elevando a una potencia ejemplo:
f(x) = (2x3+3)5
Si “u” es el polinomio — La función f(x)= un
Su derivada : f
f(x)= 5(2x3+3)4(6x2)
f(x)= 30x2(2x3+3)4

Línea Tangente

Aplicación de la derivada en la ecuación tangente
Para determinar la ecuación de la línea tangente en base a la función de una gráfica es necesario tener la ecuación de una función y un punto.
Ejemplo:
-4x en el punto (3,-3)
Pasos
1.Derivar la ecuación de la función y´=2x-4
2.Determinar la pendiente de la ecuación (sustituyendo el valor de "x")
y=2(3)-4 m=6-4 m=2
3.Sustituir la ecuación punto pendiente con los valores del punto y la pendiente.
4.Despejar la variable "y", su resultado será la ecuación de "la línea tangente" que intersecta a una función.
y=2x-6-3
y=2x-9
y-y1 = m(x-x1)
y-(-3) = 2(x-3)
y+3 = 2x-6

La Parábola

Parábola

Es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta llamada directriz.

La distancia entre el foco y la directriz de una parábola recibe el nombre de parámetro de la parábola (suele denotarse por p). Dada una parábola, se llama eje de la misma la recta que contiene al foco y es perpendicular a la directriz. Se llama vértice de la parábola al punto donde ésta corta a su eje.
La ecuación para una parabola con eje focal paralelo al eje x , vértice en (h,k) y cuya distancia al foco es p es:

La ecuación para una parabola con eje focal paralelo al eje y, vertice en (h,k) y cuya distancia al foco es p es:

Parábola con vértice en el origen

Para utlizar estas fórmulas es necesario tomar el valor de a como positivo, para saber hacia donde abre la grafica, basta con ver la esctructura de esta y en caso de ser la ecuación de forma seria necesario convertirla despejando el remino cuadratico.

Para encontrar el valor de a es necesario igualar a 4ao -4a con el número que este al lado del término, no esta elevado al cuadrado y despejar a.

Cuando no se da la fórmula pero se da el foco basta con fijarse que valor tiene el número que no es cero y ese valor aplicado como a y de ahí determina hacia donde abre fijandose si a esta en el punto de x o de y , y sie s positivo o negativo.

Cuando se da solo la directriz basta con fijarseque valor tiene el número que no es cero y ese valor aplicado como a y de ahi determina hacia donde abre fijandose si esta en el punto x o de y y si es positivo o negativo.
Cuando se da la longitud del lado recto y la abertura solo hay que sustituir el valor del lado recto en lugar de 4a en la fórmula correspondiente conservando el signo que tenga la ecuación.

Para hacer la gráfica de la parábola con centro en el origen hay que hacer lo sig:
Marcar el punto del origen como el primer punto
Marcar el punto del foco que muestra hacia donde abrirá la grafica.
Graficar los puntos extremos.
Marcar el punto de la directriz(este punto no es perteneciente a la parábola).
Parábola con vértice (h,k)

Esta parábola es similar a la que tiene centro en el origena diferencia de x y y tiene los puntos h y k y también tiene 4 ecuaciones diferentes dependiendo hacia donde abra.

Cuadrantes

Secciones Cónicas

Secciones Cónicas

Las figuras cónicas o secciones cónicas son las figuras geométricas que se obtienen cuando se interseca un cono circular recto de dos mantos de un plano . La ecuación ordinaria reducida de la circunferencia es:

(x-h)2+(y-k)2=r2

a) Caso 1: Encuentra la ecuación de una circunferencia que tiene el centro en el origen y un radio de 5.
c= (0,0) (x-0)2+(y-0)2=52
r=5 x2-0+0+y2-0+0=25
x2+y2=25

b) Caso 2: Halla la ecuación de la circunferencia cuyo centro es (-4,3) y radio 5.
(x-h)2+(y-k)2=r2
(x-(-4)2+(y-3)2=52
(x+4)2+(y-3)2=25
x2+8x+16+y2-6y+9=25
Junto terminos.
x2+y2+8x-6y+16+9=25
x2+y2+8x-6y+25-25=0
x2+y2+8x-6y=0

c) Caso 3: Desarrolla la ecuación de la circunferencia que paso por el punto (4,-5) cuyo centro es (6,-4)
(x2-x1)2+(y2-y1)2=d
(4-6)2+(-5+4)2=d
(-2)2+(-1)2=d
d=5 d=r2 raiz de=5
(x-6)2+(y+4)2= raiz de 52
x2-12x+36+y2+8x+16=raiz de 52
x2+y2-12x+8x+36+16=5
x2+y2-12x+8x+52-5=0
x2+y2-12x+8x+47=0

d) Caso 4: Encontrar la ecuación de la circunferencia. Si los extremos de sus diametros sonlos puntos P(6,2) Q(-2,-4)
r2=(x-h)2+(y-k)2

1° usariamos x1+x2/2=Pmx y1+y2/2=Pmy
2° calculemos el valor de la distancia entre pm y p extremo de la circunferencia.
r2=(6-2)2+(2+1)2
r2=(4)2+(3)2
16+9=25 r2=25 raiz de 25 = 5
3°(x-2)2+(y+1)2=raiz de 25"
x2-4x+4+y2+2y+1=25
x2+y2-4x+2y+4+1-25=0
x2+y2-4x+2y-20=0

e)Caso 5: Encuentra la ecuacion de la circunferencia cuyo centro es el punto c (10,-5) y es tangente a la recta 4x+3y-50=0.
D=Ax+By+C/raiz A2+B2
D=4(10)+3(-5)-50/raiz 42+32
D=40-15-50/raiz 16+9
D=40-15-50/raiz 25
D= -25/raiz 25
D= 25/5 D=5
(x-h)2+(y-k)2=r2
(x-10)2+(y+5)2=52
x2-20x+100+y2+10y+25=25
x2+y2-20x+10y+100+25-25=0
x2+y2-20x+10y+100=0